函数有关的中考动点真题分析

以下是一道函数有关的中考动点真题分析：

真题呈现
题目
   如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线\(y = ax^{2}+bx 2(a\neq0)\)与x轴交于\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)两点，与y轴交于点C。
   点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为\(t(0 < t<3)\)，连接AC、PC、PA。
   (1)求此抛物线的表达式；
   (2)过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，当\(t = \frac{2}{3}\)时，求\(\triangle ADP\)的面积；
   (3)过点P作\(PQ\parallel AC\)交抛物线于点Q，连接AQ、CQ，是否存在点P，使\(\triangle ACQ\)的面积与\(\triangle ACP\)的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

附图
   [此处可简单描述一下抛物线与坐标轴交点的大致位置、动点\(P\)在抛物线上的情况等]

分析与解答

求抛物线表达式
   已知抛物线\(y = ax^{2}+bx 2(a\neq0)\)与\(x\)轴交于\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)两点。
   把\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)代入\(y = ax^{2}+bx 2\)得：
     \(\begin{cases}a + 2=0\\9a + 32 = 0\end{cases}\)
     由\(a + 2=0\)可得\(b = 2 a\)，将其代入\(9a + 32 = 0\)。
     得到\(9a+3(2 a2 = 0\)，即\(9a + 3a 2 = 0\)。
     \(6a4\)，解得\(a \frac{2}{3}\)。
     把\(a \frac{2}{3}\)代入\(b = 2 a\)，得\(b=\frac{8}{3}\)。
   所以抛物线的表达式为\(y \frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{3}x 2\)。

求\(\triangle ADP\)的面积（当\(t=\frac{2}{3}\)时）
   先求出直线\(AC\)的表达式，已知\(A(1,0)\)，\(C(02)\)。
     设直线\(AC\)的表达式为\(y=kx + m\)，把\(A(1,0)\)，\(C(02)\)代入得\(\begin{cases}k + m=0\\m2\end{cases}\)，解得\(k = 2\)。
     所以直线\(AC\)的表达式为\(y = 22\)。
   当\(t=\frac{2}{3}\)时，点\(P\)的横坐标为\(\frac{2}{3}\)，把\(x=\frac{2}{3}\)代入\(y \frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{3}x 2\)得：
     \(y \frac{2}{3}\times(\frac{2}{3})^{2}+\frac{8}{3}\times\frac{2}{32\frac{8}{27}+\frac{16}{92=\frac8 + 48 54}{27}\frac{14}{27}\)。
   因为\(PD\parallel y\)轴，点\(D\)在直线\(AC\)上，当\(x = \frac{2}{3}\)时，\(y = 2\times\frac{2}{32\frac{2}{3}\)。
   所以\(PD=\ver\frac{14}{27\frac{2}{3})\vert=\ver\frac{14 + 18}{27}\vert=\frac{4}{27}\)。
   \(S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}\times AD\times PD\)，\(AD=\frac{2}{31=\frac{1}{3}\)。
   所以\(S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{4}{27}=\frac{2}{81}\)。

判断是否存在点\(P\)使\(\triangle ACQ\)的面积与\(\triangle ACP\)的面积相等
   因为\(PQ\parallel AC\)，所以\(\triangle ACQ\)的面积与\(\triangle ACP\)的面积相等时，\(D\)为\(PQ\)中点。
   设点\(P(t\frac{2}{3}t^{2}+\frac{8}{3}t 2)\)，则点\(D(t,2t 2)\)。
   设点\(Q\)的横坐标为\(m\)，则点\(Q(m\frac{2}{3}m^{2}+\frac{8}{3}m 2)\)。
   因为\(D\)为\(PQ\)中点，根据中点坐标公式可得：\(\frac{t + m}{2}=t\)，解得\(m = t\)。
   把\(Q(t\frac{2}{3}t^{2}+\frac{8}{3}t 2)\)代入\(y = 22\)得：
     \\frac{2}{3}t^{2}+\frac{8}{3}t 2=22\)。
     \\frac{2}{3}t^{2}+\frac{8}{3}t 2t=0\)。
     \\frac{2}{3}t^{2}+\frac{2}{3}t = 0\)。
     \\frac{2}{3}t(t 1)=0\)。
     解得\(t = 0\)（舍去，因为\(0 < t<3\)）或\(t = 1\)。

   所以存在点\(P\)，当\(t = 1\)时，使\(\triangle ACQ\)的面积与\(\triangle ACP\)的面积相等。

总结
知识点考查
   本题主要考查了二次函数的表达式求解（通过待定系数法利用抛物线与\(x\)轴交点坐标求解）、三角形面积计算（根据坐标求线段长度进而求三角形面积）、平行关系与中点坐标公式在函数中的应用等知识点。
解题思路要点
   对于求抛物线表达式，关键是根据已知的与\(x\)轴交点坐标代入解析式建立方程组求解。
   在求三角形面积时，要准确找到三角形的底和高，对于动点问题中的三角形，要根据动点坐标求出相关线段长度。
   解决面积相等问题时，利用平行关系得到中点这一关键条件，再通过坐标关系建立方程求解。